Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN 2018 (Kode 418)

Bimbel WIN:

Belajar dari bentuk soal yang sudah pernah ditanyakan membuat persiapan menghadapi ujian yang sebenarnya akan menjadi lebih terarah, lebih fokus dan lebih efektif.

Bentuk soal yang akan diujikan dari tahun ke tahun pada umumnya materinya sama. Pada pelajaran yang menitikberatkan pada hafalan soanya bisa sangat mirip bahkan ada yang persis sama. Sedangkan pada soal hitungan, rumus dan analisanya pada umunya sama.

Oleh karena itu, kami menyarankan bagiadik-adik calon mahasiswa baru (camaba) tahun ini, kuasailah minimal 10 tahun terakhir soal ujian yang sudah pernah keluar.

Pada kesempatan ini, bimbel WIN berbagi soal asli matematika IPA SBMPTN tahun 2018 kode 418 lengkap dengan pembahasannya yang mudah untuk dimengerti. Di akhir pembahasan, kami juga mengajak adik-adik camaba untuk tetap berlatih pada soal online yang sudah kami siapkan, Ayouk teruslah berlatih...!!! Semoga tahun ini kalian semuanya yang belajar disini bisa lolos di pilihan pertama kalian, Amiiin... 🙏🙏

- Matematika IPA -

Soal No 01.

Jika nilai maksimum dan minimum fungsi \(f(x){\rm{ }} = a\cos (x){\rm{ }} + b\) berturut-turutadalah 6 dan 2, maka nilai minimum fungsi \(g(x){\rm{ }} = {\rm{ }}2a\sin (x){\rm{ }} + {\rm{ }}3b\) adalah…

(A) -4
(B) -2
(C) 2
(D) 4
(E) 8

Diketahui fungsi y = a cos (x) + b. karena maksimum cos x = 1 dan minimum cos x = -1,

maka diperoleh:

👀untuk cos x =1
\(\begin{array}{l}y = a\cos (x){\rm{ }} + b\\6{\rm{ }} = a\cdot \cdot 1{\rm{ }} + b\\6{\rm{ }} = a + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,...\left( i \right)\end{array}\)
👀Untuk cos x = -1
\(\begin{array}{l}y = a\cos (x){\rm{ }} + b\\\,2{\rm{ }} = a \cdot - 1{\rm{ }} + b\\2{\rm{ }} = - a + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,...\left( {ii} \right)\end{array}\)
Eliminasi persamaan (i) dan (ii)
\(\begin{array}{l}\,a + b = {\rm{ }}6\\\underline { - a + b = {\rm{ }}2{\rm{ }} + } \\\,\,2b = {\rm{ }}8\\\,\,\,\,\,b = {\rm{ }}4\end{array}\)

Substitusi nilai b = 4 ke persamaan (i)

\(\begin{array}{c}\,a + b = {\rm{ }}6\\\,a + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}6\\\,\,a = {\rm{ }}2\end{array}\)

Oleh karena itu, diperoleh g(x) = 4 sinx + 8.

Maka nilai minimum g(x) = 4 sinx + 8. terjadi saat sin x = -1 diperoleh

g(x) minimumnya = 4 (-1) + 8 = 4

Kunci Jawaban: D

Soal No.02.

Diketahui gradien garis yang melaluittik O (0, 0) dan P(a,b) adalah -2. Jika P dicerminkan terhadap sumbu X kemudian digeser 5 satuan ke bawah dan 1 satuan ke kiri, maka gradien garis yang melalui titik P’ dan O (0, 0) adalah -1. Titik P adalah …

(A) (-2, 4)
(B) (-1, 2)
(C) (1, -2)
(D) (2, -4)
(E) (3, -6)

Diketahui titik P(a,b) dicerminkan terhadap sumbu x

\({{\rm{Pencerminan terhadap sumbu x : }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x'}\\{y'}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right)}\)

Selanjutnya titik P (a,b) digeser sejauh 5 satuan ke bawah dan 1 satuan ke kiri artinya,

\(\begin{array}{c}P' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\{ - b}\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\{ - 5}\end{array}} \right)\\\,\, = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&{ - 1}\\{ - b}&{ - 5}\end{array}} \right)\end{array}\)

Karena titik P(a,b) mempunyai gradient -2 dan titik P’(a-1, -b-5) mempunyai gradient -1, maka \(\begin{array}{l}\,\,\,m = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\\\, - 2 = \frac{{b - 0}}{{a - 0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 = \frac{{ - b - 5 - 0}}{{a - 1 - 0}}\\\,\, - 2a = b\,\,....\,\left( i \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 - a = - b - 5\,\,\,...\left( {ii} \right)\end{array}\) Substitusi persamaan (i) ke (ii)

\(\begin{array}{c}1 - a = - b - 5\\\,1 - a = - \left( { - 2a} \right) - 5\\\,\,1 - a = 2a - 5\\\,\,\, - 3a = - 6\\\,\,\,a = 2\end{array}\) Substitusi nilai a = 2 ke persamaan (i)

\(\begin{array}{c}\,b = - 2a\\\,\, = - 2\left( 2 \right)\\\, = - 4\end{array}\)

Kunci Jawaban: D

Soal No.03.

Diketahuikubus ABCD.EFGH denganpanjangrusuk cm. Jikatitik P ditengah-tengah AB dan Q ditengah-tengah BC makajaraktitik H dan garis PQ adlaah … cm

(A) \(\sqrt {15} \)
(B) 4
(C) \(\sqrt {17} \)
(D) \(3\sqrt 2 \)
(E) \(\sqrt {19} \)

Dari gambar kubus di atas ! Dapat disimpulkan bahwa jarak titik H ke garis PQ adalah jarak tiitk H ke O dengan O berada di tengah PA. Karena P dan Q berada di tengah- tengah sisi kubus, maka panjang \(PB = QB = \sqrt 2 \). Selanjutnya, dengan menggunakan Phytagoras, didapat

\(\begin{array}{l}PQ = \sqrt {P{B^2} + Q{B^2}} \\\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \\ = \sqrt {2 + 2} = 2\\ \Rightarrow \,\,PQ = 2\end{array}\)

Titik O berada ditengah garis PQ, maka QO = 1.

Perhatikan segitiga sama kaki PBQ.

\(\begin{array}{l}\,BO = \sqrt {Q{B^2} + Q{O^2}} \\\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} \\\,\, = \sqrt {2 - 1} \,\, = 1.\\ \Rightarrow BO = 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}HO = \sqrt {H{D^2} + D{O^2}} \\\,\, = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {3^2}} \\\,\, = \sqrt {8 + 9} \,\,\, = \sqrt {17} .\\ \Rightarrow HO = \sqrt {17} .\end{array}\)

Jadi, jarak titik H ke garis PQ adalah \(\sqrt {17} \)

Kunci Jawaban: C

Soal No 04.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {7 - x} }} = ...\)

(A) 8
(B) 12
(C) 16
(D) 20
(E) 24

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {7 - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {7 - x} }} \times \frac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {7 - x} }}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {7 - x} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {7 - x} } \right)}}{{{{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {7 - x} } \right)}^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {7 - x} } \right)}}{{\left( {x + 1} \right) - \left( {7 - x} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {7 - x} } \right)}}{{x + 1 - 7 + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {7 - x} } \right)}}{{2x - 6}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {7 - x} } \right)}}{{2\left( {x - 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {7 - x} } \right)}}{2}\\ = \frac{{\left( {3 + 3} \right)\left( {\sqrt {3 + 1} + \sqrt {7 - 3} } \right)}}{2} = 12.\end{array}\)

Jadi, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {x = 1} - \sqrt {7 - x} }} = 12\)

Kunci Jawaban: B

Soal No. 05.

Jika membentuk barisan geometri, maka jumlah 11 suku pertama yang mungkin adalah ...

(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 7
(E) 9

Diketahui \({u_1} = a + {\rm{ }}1,{u_2} = a - 3\) dan \({u_3} = {\rm{ }}2\).

Perhatikan,

\(\begin{array}{l}\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\frac{{a - 3}}{{a + 1}} = \frac{2}{{a - 3}}\\(a - 3)(a - 3){\rm{ }} = {\rm{ }}2(a + {\rm{ }}1)\\\,\,{a^2} - 6a + {\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}2a + {\rm{ }}2\\\,\,{a^2} - 8a + {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0\\\,(a - 7)(a - 1){\rm{ }} = {\rm{ }}0\end{array}\)

a = 1 atau a = 7

👀 untuk a = 1

\(\,{u_1} = a + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}2\) (suku awal)

\(\begin{array}{l}\,{u_2} = a - 3{\rm{ }} = - 2\\\,r = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = - 1\end{array}\)

Jumlah n suku pertama:

\(\begin{array}{l}{S_n} = \frac{{a({r^n} - 1)}}{{r - 1}} = \frac{{2\left( {{{( - 1)}^{11}} - 1} \right)}}{{ - 1 - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{2( - 2)}}{{ - 2}} = 2\end{array}\)

👀 untuk a = 7, tidak ada pilihan

Kunci Jawaban: A

Soal No. 06.

Daerah R dibatasi oleh \(y = \sqrt x ,\,\,y = - x + {\rm{ }}6,\) dan sumbu X. Volume benda padat dengan memutar R terhadap sumbu X adalah…

(A) \(\frac{{8\pi }}{3}\)
(B) \(\frac{{16\pi }}{3}\)
(C) \(\frac{{24\pi }}{3}\)
(D) \(\frac{{32\pi }}{3}\)
(E) \(\frac{{40\pi }}{3}\)

Diketahui kurva \({y_1} = \sqrt x {\rm{ dan }}\,{y_2} = - x + {\rm{ }}6\)

Perhatikan gambar di atas. Titik potongnya diperoleh dengansubstitusi:

\(\begin{array}{c}\,\,{{\rm{y}}_1} = {y_2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = - x + 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {x^2} - 12x + 36\\{x^2} - 13x + 36 = 0\\\left( {x - 9} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\\,\,\,x = 4\,\,{\rm{atau x = 9}}\end{array}\)

Titik potong garis y = -x + 6 terhadap sumbu x, artinya y = 0

\(\begin{array}{l}y = - x + 6\\0 = - x + 6\\x = 6\end{array}\)

Dari gambar di atas, diperoleh bahwa daerah R dibagi dua, yaitu daerah yang dibatasi oleh grafik \(y = \sqrt x \) dansumbu x dengan batas bawah dan atas adalah \({x_1} = {\rm{ }}0\) dan \({x_2} = {\rm{ }}4\) serta daerah yang dibatasi oleh grafik \(y = - x + {\rm{ }}6\) dan sumbu x dengan batas bawah dan atas adalah \({x_2} = {\rm{ }}4\) dan \({x_2} = {\rm{ }}6\)

Volume daerah R

\(\begin{array}{c}{\rm{Volume = }}\pi \int_0^4 {y_1^2} dx + \pi \,\,\int_4^6 {y_2^2\,dx} \\ = \pi \left( {\int_0^4 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx + } \,\,\int_4^6 {{{\left( { - x + 6} \right)}^2}dx} } \right)\\ = \pi \left( {\int_0^4 {x\,\,dx + } \,\,\int_4^6 {\left( {{x^2} - 12x + 36} \right)dx} } \right)\\ = \pi \left( {\left[ {\frac{1}{2}{x^2}} \right]_0^4 + \left[ {\frac{1}{3}{x^3} - 6{x^2} + 36x} \right]_4^6} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \pi \left( {\left[ {\frac{1}{2} \cdot {4^2} - \frac{1}{2} \cdot {0^2}} \right] + \left[ {\frac{1}{3} \cdot {6^3} - 6 \cdot {6^2} + 36 \cdot 6} \right] - \left[ {\frac{1}{3} \cdot {4^3} - 6 \cdot {4^2} + 36 \cdot 4} \right]} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \pi \left( {\left[ {8 - 0} \right] + \left[ {\frac{{216}}{3} - 216 + 216} \right] - \left[ {\frac{{64}}{3} - 96 + 144} \right]} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \pi \left( {\frac{{216}}{3} - \frac{{54}}{3} - 40} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \pi \left( {\frac{{152}}{3} - \frac{{120}}{3}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{32}}{3}\pi \end{array}\)

Jadi, volume daerah R adalah \(\frac{{32}}{3}\pi \)

Kunci Jawaban: D

Soal No.07.

Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari 9 orang. Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan, adalah ...

(A) 7 × 8!
(B) 6 × 8!
(C) 5 × 8!
(D) 7 × 7!
(E) 6 × 7!

* Cara duduk semua anggota tanpa ada syarat apapun :C1 = 9!

* Cara duduk semua anggota dengan syarat Ari dan Ira selalu berdampingan :C2 = 2! × 8! Dikali 2! karena Ira Ari dan Ari Ira dihitung berbeda (atau dihitung dua poisisduduk yang berbeda)

* Cara duduk semua anggota dengan Ari dan Ira tidak pernah berdampingan adalah banyak cara duduk semua anggota tanpa syarat apapun dikurangi banyak cara duduk Ari dan Ira selalu berdampingan : C3 = C1 - C2 = 9! - 2! × 8! = 9 × 8! - 2 × 8! = (9 - 2) × 8! = 7 × 8!

Jadi, banyak cara membuat barisan dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah 7 × 8!.

Kunci Jawaban: A

Soal No.08.

Jika Panjang jari-jarilingkaran \({x^2} + {y^2} + Ax + By - 4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\,\) adalah dua kali panjang jari-jarilingkaran \({\rm{ }}{x^2} + {y^2} + Ax + By + {\rm{ }}17{\rm{ }} = {\rm{ }}0\), maka panjang jari-jari yang besar adalah …

(A) \(\sqrt 7 \)
(B) \(2\sqrt 7 \)
(C) \(3\sqrt 7 \)
(D) \(4\sqrt 7 \)
(E) \(5\sqrt 7 \)

Misal diketahui persamaan lingkaran :

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + Ax + By + C = 0\\{\rm{Jari - jari Lingkaran : r = }}\sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}A} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}A} \right)}^2} - C} \end{array}\)

Misal \({r_1}\) adalah jari-jari dari \({x^2} + {y^2} + Ax + By - 4 = 0\) dan \({r_2}\) adalah jari-jari \({{\rm{x}}^2} + {y^2} + Ax + By + 17 = 0\).

Perhatikan.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,\,r_1^2 = {\left( { - \frac{1}{2}A} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}B} \right)^2} - C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,r_1^2 = {\left( { - \frac{1}{2}A} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}B} \right)^2} + 4\\\,\,r_1^2 - 4 = \frac{1}{4}{A^2} + \frac{1}{4}{B^2}...............i)\\ \Rightarrow \,\,\,\,r_2^2 = {\left( { - \frac{1}{2}A} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}B} \right)^2} - C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,r_2^2 = {\left( { - \frac{1}{2}A} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}B} \right)^2} - 17\\r_2^2 + 17 = \frac{1}{4}{A^2} + \frac{1}{4}{B^2}.................ii)\end{array}\)

Samakan persamaan (i) dan (ii)

\(\begin{array}{l}\,\frac{1}{2}{A^2} + \frac{1}{4}{B^2} = \frac{1}{4}{A^2} + \frac{1}{4}{B^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,r_1^2 - 4 = r_2^2 + 17\\\,\,\,\,\,\,r_1^2 - \frac{1}{4}r_1^2 = 17 + 4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}{4}r_1^2 = 21\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,r_1^2 = 21 \times \frac{4}{3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,r_1^2 = 28\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{r_1} = \sqrt {28} \,\,\, = 2\sqrt 7 \end{array}\)

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang besar adalah \(2\sqrt 7 \)

Kunci Jawaban: B

Soal No. 09.

Sisa pembagian \({\rm{ }}p(x){\rm{ }} = {x^3} + a{x^2} + 4x + 2b + {\rm{ }}1\) oleh \({x^2} + {\rm{ }}4\) adalah \(b - 3a\). Jika P(x) habis dibagi oleh x + 1, maka \({a^2} + b\) = …

(A) 1
(B) 3
(C) 5
(D) 7
(E) 9

Diketahui \({\rm{p}}\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + 4x + 2b + 1\) diabagi \({x^2} + 4\)

Perhatikan pembagian biasa berikut :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\, + \,\,\,a\\{x^2} + 4\overline {\left| \begin{array}{l}\,\,\,\,{x^3} + a{x^2} + 4x\, + \left( {1 + 2b} \right)\,\\\,\,\,\,\,\underline { - {x^3}\, - 4x} \,\,\,\,\,{\,_ - }\\\,\,\,\,\,a{x^2} + \left( {1 + 2b} \right)\\\,\,\,\,\,\,\underline {\, - a{x^2}\, - 4a} \,\,\,\,\,{\,_ - }\\\,\,\,\,\,\,\,\left( {1 + - 4a + 2b} \right)\end{array} \right.} \end{array}\)

Karena p(x) dibagi oleh \({{\rm{x}}^2} + 4\) bersisa \(b - 3a\), maka

\(\begin{array}{l}\,1 - 4a + 2b = b - 3a\\\,b = - 1 + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,...\left( i \right)\end{array}\)

Di sisi lain, didapat

\(\begin{array}{l}\,{\rm{p}}\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + a{\left( { - 1} \right)^2} + 4\left( { - 1} \right) + 2b + 1\\0 = - 1 + a - 4 + 2b + 1\\\,4 = a + 2b\end{array}\)

Substitusi persamaan (i) ke (ii)

\(\begin{array}{l}\,4 = a + 2b\\\,4 = a + 2\left( { - 2 + 2a} \right)\\\,4 = a - 2 + 2a\\\,\,6 = 3a\,\,\, \Rightarrow \,\,\,a = 2\end{array}\)

Substitusi nilai a = 2 ke persamaan (i)

Jadi, nilai \({a^2} + {b^2} = {2^2} + 1 = 5\)

Kunci Jawaban: C

Soal No. 10.

Segitiga yang dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y dan garis singgung kuva \({x^2} + {\rm{ }}4y = \frac{1}{3}{x^3} + {\rm{ }}1{\rm{ }}\) di titik P(a, b) pada kuadran II, berbentuk segitiga sama kaki. Nilai a.b adalah …

(A) \( - \frac{2}{3}\)
(B) \( - \frac{33}{48}\)
(C) \( - \frac{86}{243}\)
(D) \( - \frac{191}{768}\)
(E) \( - \frac{374}{1875}\)

Diketahui garis singgung kurva \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 1\) di titik P(a, b)

\(\begin{array}{c}y = \frac{1}{3}{x^3} + 1\\\,y' = {x^2}\\\,m = y'\left( a \right) = {a^2}\end{array}\)

Karena garis-garis singgung kurva \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 1\) di titik P(a,b) membentuk segitiga sama kaki pada kuadran II, maka

\(\begin{array}{c}m = \tan \alpha \\\,\, = \tan 45^\circ \,\, = 1.\end{array}\)

Sehingga \({a^2} = 1\,\,\, \Rightarrow \,\,\,a = \pm 1\) Karena titik P(a,b) berada pada kuadran II, nilai a = -1, maka

\(\begin{array}{c}\,{\rm{y = }}\frac{1}{3}{x^3} + 1\\\,b = \frac{1}{3}.{\left( { - 1} \right)^3} + 1\\\,\, = \frac{1}{3} \cdot - 1 + 1\\\, = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}\,\,\, = \frac{2}{3}\end{array}\)

Dan diperolehlah \(a \cdot b = - 1 \cdot \frac{2}{3} = - \frac{2}{3}\)

Jadi, nilai \(a \cdot b = - \frac{2}{3}\)

Kunci Jawaban: A

Soal No. 11.

Jika \(\int_0^4 {f(x)dx = \sqrt 2 } \) , maka nilai \(\int_0^2 {xf(x)\,\,dx = } \) adalah …

(A) \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
(B) \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
(C) \({\sqrt 2 }\)
(D) \({2\sqrt 2 }\)
(E) \({4\sqrt 2 }\)

Misal \(u = {x^2}\), maka

\(\begin{array}{c}{\rm{u = }}{{\rm{x}}^2}\\\,du = 2x\,dx\\\,\frac{{du}}{{2x}} = dx\end{array}\)

Selanjutnya, diperoleh batas bawah dan atas yang baru

👀untuk \(x = 0 \to u = {0^2} = 0\)

👀untuk \(x = 2 \to u = {2^2} = 4\)

Karena \(\int_0^4 {f\left( x \right)\,dx\, = \sqrt 2 } \) maka

\(\begin{array}{l}\,\int_0^2 {xf\left( {{x^2}} \right)dx = \int_0^4 {xf\left( u \right)\frac{{du}}{{2x}}} } \\\, = \int_0^4 {(frac{1}{{2x}} \cdot xf\left( u \right)\,du} \\\, = \frac{1}{2}\int_0^4 {f\left( u \right)\,du} = \frac{1}{2}\sqrt 2 \end{array}\) Jadi, \({\rm{ }}\int_0^2 {xf\left( {{x^2}} \right)\,\,dx = \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \)

Jadi, \({\rm{ }}\int_0^2 {xf\left( {{x^2}} \right)\,\,dx = \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \)

Kunci Jawaban: B

Soal No.12.

Diketahui \(({a_n})\) dan \(({b_n})\) adalah dua barisan aritmatika dengan \({a_1} = {\rm{ }}5,\,\,{a_2} = 8,\,\,{b_1} = {\rm{ }}3,\) dan \({b_2} = 7\). Jika \(A = \left\{ {{a_1},\,\,{a_2}\,\,{\rm{,}}\,\,...\,{\rm{,}}\,\,\,{a_{100}}} \right\}\) dan \(B = \left\{ {{b_1},\,\,{b_2}\,\,{\rm{,}}\,\,...\,{\rm{,}}\,\,\,{b_{100}}} \right\}\) maka banyaknya anggota \(A \cap B\) adalah ...

(A) 20
(B) 21
(C) 22
(D) 23
(E) 24

Diketahui \({a_1} = 5{\rm{ dan }}{a_2} = 8\), maka beda b = 3. Sehingga

\(\begin{array}{l}\,\,{{\rm{u}}_n} = a + \left( {n - 1} \right)b\\\, = 5 + \left( {n - 1} \right)3\\\, = 5 + 3n - 3\\\, = 3n + 2\\\,{u_{100}} = 3\left( {100} \right) + 2\\\,\, = 300 + 2\, = 302\end{array}\)

Diketahui \({b_1} = 3\) dan \({b_2} = 7\), maka beda b = 4. Berakibat

\(\begin{array}{l}{{\rm{u}}_n} = a + \left( {n - 1} \right)b\\\, = 3 + \left( {n - 1} \right)4\\\, = 3 + 4n - 4\\\, = 4n - 1\\\,\,{u_{100}} = 4\left( {100} \right) - 4\\\, = 400 - 1 = 396\end{array}\)

Perhatikan barisan aritmetika \(\left( {{a_n}} \right)\) dan \(\left( {{b_n}} \right)\)

\(\begin{array}{l}A = {a_n} = \left\{ {5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,...,302} \right\}\\B = {b_n} = \left\{ {3,7,11,15,19,23,27,31,35,...,396} \right\}\end{array}\)

Dari barisan \(\left( {{a_n}} \right)\) dan \(\left( {{b_n}} \right)\) diperoleh bahwa

\({\rm{A}} \cap {\rm{B = }}\left\{ {11,23,35,..., \le 302} \right\}\)

Oleh karena itu, didapat a = 11 dan b = 23 – 11 = 12.

\(\begin{array}{l}{{\rm{U}}_n} = a + \left( {n - 1} \right)b\\\, = 11 + \left( {n - 1} \right)12\\\,\, = 11 + 12n - 12\\\, = 12n - 1\end{array}\)

Karena barisan dari \({\rm{A}} \cap {\rm{B}}\) harus kurang dari atau sama dengan \({\rm{302}}\left( {{U_n}} \right)\), maka

\(\begin{array}{l}\,{{\rm{U}}_n} \le 302\\\,12n - 1 \le 302\\\,12n \le 303\\\,n \le \frac{{303}}{{12}} = 25,25\end{array}\) Jadi, banyak anggota \({\rm{A}} \cap {\rm{B}}\) adalah 25

Kunci Jawaban: …

Soal No.13.

Himpunan semua bilangan rea x pada selang\([\pi ,2\pi ]\) yang memenuhi \(2{\rm{ }}cos\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\cos x \ge 1 - \cos 2x{\rm{ }}\) berbentuk [a, b]. Nilai a + b adalah …

(A) \(\frac{{9\pi }}{4}\)
(B) \({3\pi }\)
(C) \(\frac{{11\pi }}{4}\)
(D) \(\frac{{14\pi }}{4}\)
(E) \(\frac{{15\pi }}{4}\)

Berikut sifat trigonometri yang akan digunakan

\(\begin{array}{l}{\rm{Sifat Trigonometri : si}}{{\rm{n}}^2}x + {\cos ^2}x = 1\\\sin \left( {2x} \right) - 2{\cos ^2}x \ge - 2\\2\sin x\cos x - 2{\cos ^2}x \ge - 2\\\sin x\cos x - {\cos ^2}x \ge - 1\\\sin x\cos x - {\cos ^2}x + 1 \ge 0\\\sin x\cos x - {\cos ^2}x + {\sin ^2}x + {\cos ^2}x \ge 0\\\,\sin x\cos x + {\sin ^2}x \ge 0\\\,\,\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right) \ge 0\end{array}\)

Oleh karena itu, diperoleh

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\sin x = \sin 180{\rm{ atau }}\sin 360\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,x = \pi {\rm{ atau }}2\pi \\ \Rightarrow \cos x = - \sin x\\\cos x + \sin x = 0\,\,(dibagi\cos x)\\\tan x = - 1\\\tan x = \tan 315\\x = \frac{7}{4}\pi \end{array}\)

Karena solusi dari pertidaksamaan tersebut berbentuk [a, b] maka solusinya adalah \(\left[ {\pi ,\frac{7}{4}\pi } \right]{\rm{ atau }}\left[ {\frac{7}{4}\pi ,2\pi } \right]\) untuk \(\left[ {a,b} \right] = \left[ {\pi ,\frac{7}{4}\pi } \right]\) diperoleh

\(\begin{array}{l}a + b = \frac{4}{7}\pi + 2\pi \\\, = \frac{7}{4}\pi + \frac{8}{4}\pi \\\, = \frac{{15}}{4}\pi \end{array}\)

Jadi, nilai a + b adalah \(\frac{{15}}{4}\pi \)

Kunci Jawaban: E

Soal No.14.

Himpunan semua nilai c agar grafik \(y = {\rm{ }}{2^{2{x^2} + 3x - c}}\) dan \(y = {\rm{ }}{4^{12{x^2} + {\textstyle{1 \over 2}}x + 1}}\) berpotongan adalah…

(A) \(\left\{ {c:c{\rm{ }} < - 3{\rm{ atau }}c{\rm{ }} > 3} \right\}\)
(B) \(\,\left\{ {c:c{\rm{ }} < 0{\rm{ atau }}c{\rm{ }} > 4} \right\}\)
(C) \(\left\{ {c:c{\rm{ }} < - 3} \right\}\)
(D) \(\left\{ {c: - 3 < {\rm{ }}c{\rm{ }} < 4} \right\}\)
(E) \(\left\{ {c: - \infty < {\rm{ }}c{\rm{ }} < \infty } \right\}\)

Agar grafik \(y = {\rm{ }}{2^{2{x^2} + 3x - c}}\) dan \(y = {\rm{ }}{4^{12{x^2} + {\textstyle{1 \over 2}}x + 1}}\) berpotongan, maka D > 0.

\(\begin{array}{c}\,{{\rm{2}}^{2{x^2} + 3x - c}} = {4^{{\textstyle{1 \over 2}}{x^2} + {\textstyle{1 \over 2}}x + 1}}\\{{\rm{2}}^{2{x^2} + 3x - c}} = {\left( {{2^2}} \right)^{{\textstyle{1 \over 2}}{x^2} + {\textstyle{1 \over 2}}x + 1}}\\2{x^2} + 3x - c = 2\left( {\frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + 1} \right)\\2{x^2} + 3x - c = {x^2} + x + 2\\{x^2} + 2x - c - 2 = 0.\end{array}\)

Agar kedua grafik tersebut berpotongan, maka D > 0

\(\begin{array}{c}{b^2} - 4ac > 0\\{2^2} - 4\left( 1 \right)\left( { - c - 2} \right) > 0\\4 + 4c + 8 > 0\\4c > - 12\\c > - 3\end{array}\)

Jadi, nilai c agar kedua grafik berpotongan adalah {c: c > -3}

Kunci Jawaban: …

Soal No. 15.

Diketahuidualingkaran \({x^2} + {y^2} = 2\) dan \({x^2} + {y^2} = 4\). Garis \({l_1}\) menyinggunglingkaranpertama di titik (1, -1). Garis\({l_2}\) menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis \({l_1}\). Titik potong garis \({l_1}\) dan \({l_2}\) adalah …

(A) \((1{\rm{ }} + \sqrt 2 ,\sqrt 2 - 1)\)
(B) \((1 - {\rm{ }}\sqrt 2 ,\sqrt 2 - 1)\)
(C) \((1{\rm{ }} + \sqrt 2 ,\sqrt 2 + 1)\)
(D) \((1{\rm{ }} - \sqrt 2 ,\sqrt 2 - 2)\)
(E) \((1{\rm{ }} + \sqrt 2 ,\sqrt 2 + 2)\)

Jika diketahui persamaan lingkaran \({x^2} + {y^2} = {r^2}\) dan titik singgung \(\left( {{x_1}, {y_1}} \right)\), maka persamaan garis singgung lingkaran

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}{x_1}x + {y_1}y = {r^2}\\\,{x_1}x + {y_1}y = {r^2}\\1 \cdot x + \left( { - 1} \right) \cdot y = 2\\x - y = 2\\y = x - 2\end{array}\)

Oleh karena itu, persamaan garis singgung lingkaran \({l_1}\) adalah y = x – 2 dengan gradien garis \({l_1}\) adalah \({m_1} = 1.\) Karena \({l_1}\) dan \({l_2}\) tegak lurus, maka

\(\begin{array}{c}\,{m_1} \times {m_2} = - 1\\\,1\,\, \times {m_2} = - 1\\\,{m_2} = - 1\end{array}\)

Jika diketahui persamaan lingkaran \({x^2} + {y^2} = {r^2}\) dan gradient m, maka persamaan garis singgung lingkaran \( \Rightarrow {\rm{ }}y = mx \pm r\sqrt {{m^2} + 1} \)

Karena diketahui lingkaran \({x^2} + {y^2} = 4\), diperoleh bahwa r = 2

\(\begin{array}{c}y = mx \pm r\sqrt {{m^2} + 1} \\ = - 1 \cdot x \pm 2\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} \\ = - x \pm 2\sqrt 2 \end{array}\)

Oleh karena itu, diperoleh garis singgung lingkarannya

\(\left( {{l_2}} \right)\) adalah \(y = - x + 2\sqrt 2 \) atau \(y = - x - 2\sqrt 2 .\)

Karena garis \({l_1}\) dan \({l_2}\) berpotongan maka

👀Untuk \({l_1}\) dan \({l_2}\) yaitu \(y = x - 2\,\,\,{\rm{dan}}\,\,\,y = - x + 2\sqrt 2 \)

Selanjutnya diperoleh

\(\begin{array}{l}x - 2 = - x + 2\sqrt 2 \\2x = 2 + 2\sqrt 2 \\\,x = 1 + \sqrt 2 \end{array}\)

Oleh karena itu, diperoleh titik potong garis \({l_1}\) dan \({l_2}\) adalah \(\left( {1 + \sqrt 2 ,\sqrt 2 - 1} \right)\)

👀Untuk \({l_1}\) dan \({l_2}\) yaitu y = x – 2 dan \(y = - x - 2\sqrt 2 .\)

\(\begin{array}{c}x - 2 = - x - 2\sqrt 2 \\2x = 2 - 2\sqrt 2 \\x = 1 - \sqrt 2 \end{array}\)

Selanjutnya diperoleh

\(\begin{array}{c}y = x - 2\\ = \left( {1 - \sqrt 2 } \right) - 2\\ = - \sqrt 2 - 1\end{array}\)

Oleh karena itu, diperoleh titik potong garis \({l_1}\) dan \({l_2}\) adalah \(\left( {1 - \sqrt 2 , - \sqrt 2 - 1} \right).\)

Dari opsi jawaban pada pilihan ganda, maka dapat disimpulkan bahwa titik potong garis \({l_1}\) dan \({l_2}\) adalah \(\left( {1 + \sqrt 2 ,\sqrt 2 - 1} \right)\)

Kunci Jawaban: A