Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2017 (Kode 226)

Bimbel WIN:

Belajar dari bentuk soal yang sudah pernah ditanyakan membuat persiapan menghadapi ujian yang sebenarnya akan menjadi lebih terarah, lebih fokus dan lebih efektif.

Bentuk soal yang akan diujikan dari tahun ke tahun pada umumnya materinya sama. Pada pelajaran yang menitikberatkan pada hafalan soanya bisa sangat mirip bahkan ada yang persis sama. Sedangkan pada soal hitungan, rumus dan analisanya pada umunya sama.

Oleh karena itu, kami menyarankan bagiadik-adik calon mahasiswa baru (camaba) tahun ini, kuasailah minimal 10 tahun terakhir soal ujian yang sudah pernah keluar.

Pada kesempatan ini, bimbel WIN berbagi soal asli matematika dasar SBMPTN tahun 2017 (Kode 226) lengkap dengan pembahasannya yang mudah untuk dimengerti. Di akhir pembahasan, kami juga mengajak adik-adik camaba untuk tetap berlatih pada soal online yang sudah kami siapkan, Ayouk teruslah berlatih...!!! Semoga tahun ini kalian semuanya yang belajar disini bisa lolos di pilihan pertama kalian, Amiiin... 🙏🙏

- Matematika Dasar -

💦Soal No.46

Misalkan \({A^T}\) adalah transpos matriks A. Jika \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&x\\0&{ - 2}\end{array}} \right)\) sehingga \({A^T}A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&4\\4&8\end{array}} \right)\), maka nilai \({x^2} - x\) adalah ....

(A) 0
(B) 2
(C) 6
(D) 12
(E) 20

Pembahasan

\(\begin{array}{c}{A^T}A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&4\\4&8\end{array}} \right)\\{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&x\\0&{ - 2}\end{array}} \right)^T}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&x\\0&{ - 2}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&4\\4&8\end{array}} \right)\\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\x&{ - 2}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&x\\0&{ - 2}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&4\\4&8\end{array}} \right)\\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&{2x}\\{2x}&{{x^2} + 4}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&4\\4&8\end{array}} \right)\end{array}\)

Dari persamaan matriks diatas diperoleh \(2x = 4 \to x = 2\)

Jadi \({x^2} - x = {2^2} - 2 = 2\)

💥Kunci Jawaban : B

💦Soal No.47

Jika himpunan penyelesaian \(\left| {2x - a} \right| < 5\) adalah \(\left\{ {x| - 1 < x < 4} \right\}\), maka nilai a adalah ...

(A) -4
(B) -3
(C) -1
(D) 3
(E) 4

Pembahasan
\(\left| {2x - a} \right| < 5\) dibuka mutlaknya jadi
\(\begin{array}{l} - 5 < 2x - a < 5\\ - 5 + a < 2x < 5 + a\\\frac{{ - 5 + a}}{2} < x < \frac{{5 + a}}{2}\end{array}\)
bentuk ini sama dengan bentuk dari soal -1 < x < 4
maka \(\begin{array}{c}\frac{{ - 5 + a}}{2} = - 1\\ - 5 + a = - 2\\a = 5 + 2 = 3\end{array}\)
💥Kunci Jawaban : D

💦Soal No.48

Pada segitiga siku-siku sama kaki ABC, sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga bagian yang sama, berturut-turut oleh titik K,L, dan M,N. Jika luas \(\Delta ABC\) adalah \(x{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\), maka luas \(\Delta KMN\) adalah ... \(c{m^2}\)

(A) \(\frac{x}{3}\)
(B) \(\frac{{2x}}{9}\)
(C) \(\frac{x}{9}\)
(D) \(\frac{x}{{18}}\)
(E) \(\frac{x}{{36}}\)

Pembahasan
Luas segitiga ABC adalah x
\(\begin{array}{c}\frac{1}{2}BC \cdot BA = x\\BC \cdot BA = 2x\end{array}\)
Karena dibagi tiga menjadi sama panjang maka \(MN = \frac{1}{3}BC\) dan \(BK = \frac{2}{3}BA\)
Segitiga MNN memiliki alas MN tinggi BK
Luas segitiga KMN dapat ditentukan yaitu :
Luas \(\Delta KMN = \frac{1}{2} \times alas \times tinggi\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}MN \cdot BK\\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}BC \cdot \frac{2}{3}BA\\ = \frac{1}{9}BC \cdot BA\\ = \frac{1}{2}\left( {2x} \right) = \frac{{2x}}{9}\end{array}\)
💥Kunci Jawaban : B

💦Soal No.49

Jika \(f\left( x \right) = {x^2} - 1\) dan \(g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\), maka daerah asal fungsi \(f \cdot g\)....

(A) \(\left\{ {x| - \infty < x < \infty } \right\}\)
(B) \(\left\{ {x|x \ne - 1} \right\}\)
(C) \(\left\{ {x|x \ne 2} \right\}\)
(D) \(\left\{ {x|x < - 1} \right\}\)
(E) \(\left\{ {x|x \ge 2} \right\}\)

Pembahasan
Terlebih dahulukita tentukan daerah asal masing-masing
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} - 1 \to {D_f} = \left\{ {x \in R} \right\}\\ \Rightarrow g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}} \to {D_y} = \left\{ {x \ne - 1} \right\}\end{array}\)
Daerah asal fungsi \(f \cdot g\) adalah
\(\begin{array}{c}{D_{f \cdot g}} = {D_f} \cap {D_g}\\ = \left\{ {x \in R} \right\} \cap \left\{ {x \ne - 1} \right\}\\ = \left\{ {x \ne - 1} \right\}\end{array}\)
💥Kunci Jawaban : B

💦Soal No.50

Diketahui median dan rata-rata berat badan 5 balita adalah sama. Setelah ditambahkan satu data berat bada balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, muka selisih berat badan antara balita terakhir yang di tambahkan dan balita di urutan ke-4 adalah ... kg .

(A) \(\frac{4}{9}\)
(B) \(\frac{9}{2}\)
(C) 5
(D) 6
(E) \(\frac{13}{2}\)

Pembahasan
Data statistika harus terurut dari yang terkecil urutannya : a,b,c,d,e maka mediannya c dan mendian = rata-ratanya.
\(\begin{array}{l}\frac{{a + b + c + d + e}}{5} = c\\a + b + c + d + e = 5c\end{array}\)
Data baru diperoleh dengan menambahkan 1 data x. Kemungkinan letaknya:
Kemungkinan I : a,b,x,c,d,e atau a,b,c,x,d,e. Karena mediannya tetap yaitu c maka :
\(\begin{array}{l} \Rightarrow c = \frac{{x + c}}{2} \to x = c\\ \Rightarrow \frac{{a + b + c + d + e + x}}{6} = \frac{{6c}}{6} = C\end{array}\)
karena rata-ratanya tetap berarti tidak memenuhi syarat.
Kemungkinan II : x,a,b,c,d,e atau a,x,b,c,d,e data ketupat adalah c dan rata-rata meningkat I maka
\(\begin{array}{c}\frac{{a + x + b + c + d + e}}{6} = e + 1\\5x + x = 6c + 6\\x = c + 6\end{array}\)
dari bentuk ini nilai c lebih besar dari x sedangkan dirumusnya harusnya sebaliknya. Maka kemungkinan ini tidak memenuhi
Kemungkinan III a,b,c,d,x,e atau a,b,c,d,e,x data keempat adalah d jadi, median \(c = \frac{{c + d}}{2} \to c = d\) rata-rata meningkat 1
\(\begin{array}{c}\frac{{a + b + c + d + e + x}}{6} = c + 1\\5c + x = 6c + 6\\x = c + 6\end{array}\)
dari persamaan ini C sudah lebih kecil dari x (memenuhi)
x - c = 5
x - d = 6
Jadi selisihnya 6
💥Kunci Jawaban : D

💦Soal No.51

Suku ke-11 suatu barisan aritmetika sama dengan empat kali suku ke-16. Jika beda barisan tersebut adalah -3, maka empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke - ...

(A) 1
(B) 3
(C) 3
(D) 7
(E) 9

Pembahasan
Dari barisan tersebut diketahui :
\(\begin{array}{c}b = - 3\\{U_{11}} = 4\left( {{U_{16}}} \right)\\a + 10b = 4\left( {a + 15b} \right)\\a - 30 = 4\left( {a + \left( { - 45} \right)} \right)\\a - 30 = 4a - 180\\3a = 150\\a = 50\end{array}\)
\(\begin{array}{c}4{U_{14}} = {U_n}\\4\left( {a + 13b} \right) = \alpha + \left( {n - 1} \right)b\\4\left( {50 + 13\left( { - 3} \right)} \right) = 50 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 3} \right)\\4\left( {50 - 39} \right) = 50 - 3\left( {n - 1} \right)\\44 = 50 - 3\left( {n - 1} \right)\\ - 6 = - 3\left( {n - 1} \right)\\n - 1 = 2\\n = 3\end{array}\)
Jadi \(4 \times {U_{14}} = {U_3}\)
💥Kunci Jawaban : B

💦Soal No.52

Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada saat panen dari kolam tersebut adalah (6 - 0,02x) kg, dengan x menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah .... kg.

(A) 400
(B) 420
(C) 435
(D) 450
(E) 465

Pembahasan
Misalkan berat totalnya = y banyak ikan = x dan rata-rata = 6 - 0,02x
Dari rumus rata-rata :
\(\begin{array}{l}\frac{y}{x} = 6 - 0,02x\\y = 6x - 0,02{x^2}\end{array}\)
Pada fungsi kuadrat
\(\begin{array}{c}{x_{maks}} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{6}{{0,04}}\\x = \frac{{\frac{6}{4}}}{{100}} = 150\end{array}\)
Total berat maksimumnya adalah :
\(\begin{array}{c}f\left( x \right) = 6x - \frac{1}{{50}}{x^2}\\{f_{maks}} = f\left( {150} \right)\\ = 6 \times 150 - \frac{1}{{50}}{\left( {50} \right)^2}\\ = 900 - 450 = 450\end{array}\)
Jadi nilai maksimum = 450
💥Kunci Jawaban : D

💦Soal No.53

Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama suatu barisan geometri adalah \(\frac{1}{{32}}\) . Jika jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 adalah 15, maka jumlah 3 suku pertama barisan tersebut adalah ...

(A) 30
(B) 40
(C) 50
(D) 60
(E) 70

Pembahasan
\(\begin{array}{c}\frac{{{U_6}}}{{{U_1}}} = \frac{1}{{32}}\\\frac{{a{r^5}}}{a} = \frac{1}{{32}}\\{r^5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}\\r = \frac{1}{2}\end{array}\)
\(\begin{array}{c}{U_3} + {U_4} = 15\\a{r^2} + a{r^3} = 15\\a{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + a{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = 15\\\frac{1}{4}a + \frac{1}{8}a = 15\left( {kali\,8} \right)\\2a + a = 120\\3a = 120 \to a = 40\end{array}\)
\(\begin{array}{c}{S_n} = \frac{{a\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}}\\{S_3} = \frac{{40\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} - 1} \right)}}{{\frac{1}{2} - 1}}\\ = \frac{{40\left( {\frac{1}{8} - 1} \right)}}{{\frac{1}{2} - 1}}\\ = \frac{{40\left( {\frac{1}{8} - 1} \right)}}{{\frac{1}{2} - 1}}\left( {kali\frac{8}{8}} \right)\\ = \frac{{40\left( {1 - 8} \right)}}{{4 - 8}} = \frac{{40\left( { - 7} \right)}}{{ - 4}}\\ = 70\end{array}\)
Jadi jumlah 3 suku pertama adalah 70
💥Kunci Jawaban : E

💦Soal No.54

Jika \(f\left( x \right) = 1 - {x^2}\) dan \(g\left( x \right) = \sqrt {5 - x} \), maka daerah hasil fungsi komposisi \(f \circ g\) adalah ...

(A) \(\left\{ {y| - \infty < y < \infty } \right\}\)
(B) \(\left\{ {y|y \le - 1{\rm{ atau y}} \ge {\rm{1}}} \right\}\)
(C) \(\left\{ {y|y \le 5} \right\}\)
(D) \(\left\{ {y|y \le 1} \right\}\)
(E) \(\left\{ {y| - 1 \le y \le 1} \right\}\)

Pembahasan
Dari fungsi \(g\left( x \right) = \sqrt {5 - x} \)
daerah asalnya : \(\begin{array}{l}5 - x \ge 0\\x \le + 5\end{array}\)
\(\begin{array}{c}y = \left( {fog} \right)\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right)\\ = f\left( {\sqrt {5 - x} } \right)\\ = 1 - {\left( {\sqrt {5 - x} } \right)^2}\\ = 1 - \left( {5 - x} \right)\\y = x - 4\end{array}\)
daerah asal y = (fog) (x) tersebut adalah \(\left\{ {x \in R} \right\}\)
Daerah asal y = (fog) (x) adalah irisan kedua daerah asal diatas yaitu \(x \le + 5\)
Maka daerah hasil y = (fog) (g) untuk \(x \le 5\) adalah
\(\begin{array}{l}y = x - 4\\y \le 5 - 4 \to y \le 1\\{R_{\left( {fog} \right)}} = \left\{ {y \le 1} \right\}\end{array}\)
💥Kunci Jawaban : D

💦Soal No.55

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P dan Q berturut-turut adalah titik tengah HG dan BC. Jika panjanga rusuk kubus tersebut adalah 4 cm, maka jarak P ke Q adalah .... cm.

(A) \(2\sqrt 3 \)
(B) \(2\sqrt 6 \)
(C) \(6\sqrt 2 \)
(D) \(6\sqrt 3 \)
(E) \(6\sqrt 6 \)

Pembahasan
Perhatikan segitiga PQG siku-siku di G
\(\begin{array}{l}PG = \frac{1}{2}GA = \frac{1}{2} \times 4 = 2\\G{Q^2} = G{C^2} + C{Q^2} = {4^2} + {2^2} = 20\end{array}\)
PQ diperoleh dari rumus phytagoras
\(\begin{array}{c}P{Q^2} = P{G^2} + G{Q^2}\\ = 4 + 20 = 24\\PQ = \sqrt {24} = \sqrt {4 \times 6} = 2\sqrt 6 \end{array}\)
Jadi panjang \(PQ = 2\sqrt 6 \)
💥Kunci Jawaban : B

💦Soal No.56

Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan \(x + y \le 3\), \(3x + 2y \ge 6,y \ge 0\)adalah ... satuan luas

(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) \(\frac{3}{4}\)
(C) 1
(D) \(\frac{3}{2}\)
(E) 2

Pembahasan
Gambar daerah jawab:
\(\begin{array}{l}i)\,\,\,x + y \le 3 \to \left( {3,0} \right)\& \left( {0,3} \right)\\ii)\,\,3x + 2y \ge 6 \to \left( {0,3} \right)\& \left( {2,0} \right)\\iii)\,y \ge 0 \to y = 0\left( {sb\,x} \right)\end{array}\)
Daerah penyelesaiannya berupa segitiga ABD
Luas \(\begin{array}{l} = \frac{1}{2} \times BA \times CD\\ = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = \frac{3}{2}\end{array}\)
💥Kunci Jawaban : D

💦Soal No.57

Titik (1,0) dipetakan dengan translasi \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\2\end{array}} \right)\) dan kemudian dicerminkan terhadap garis x=3 ke titik (6,2). Peta titik (2,1) di bawah transformasi yang sama adalah ...

(A) (5,3)
(B) (6,2)
(C) (6,3)
(D) (7,2)
(E) (7,3)

Pembahasan
Titik (1,0) ditranslasi oleh \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\2\end{array}} \right)\)
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x'}\\{y'}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\2\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 1}\\2\end{array}} \right)\)
Titik (a + 1, 2) dicerminkan terhadap x = 3 (anggap x = h)
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x'}\\{y'}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2g - x}\\y\end{array}} \right)\) Jadi
\(\begin{array}{l}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x'}\\{y'}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left( 3 \right) - \left( {a + 1} \right)}\\2\end{array}} \right)\\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x'}\\{y'}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{6 - a - 1}\\2\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - a}\\2\end{array}} \right)\end{array}\)
Bayangan akhir (5 - a, 2) disamakan dengan (6, 2) maka \(5 - a = 6 \to a = - 1\) berarti matriks translasinya \(T = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\2\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\2\end{array}} \right)\)
Bayangan (2,1) oleh translasi (-1, 2) dan refleksi x = 2
\(\begin{array}{c}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x'}\\{y'}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\2\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\3\end{array}} \right)\\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x''}\\{y''}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2h - x}\\y\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2x3 - 1}\\3\end{array}} \right)\\ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{6 - 1}\\3\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\3\end{array}} \right)\end{array}\)
Jadi bayangannya (5, 3)
💥Kunci Jawaban : A

💦Soal No.58

\(\int {\frac{{3\left( {1 - x} \right)}}{{1 + \sqrt x }}} {\rm{ }}dx\) = ...

(A) \(3x - 2x\sqrt x + C\)
(B) \(2x - 3x\sqrt x + C\)
(C) \(3x\sqrt x - 2x + C\)
(D) \(2x\sqrt x - 3x + C\)
(E) \(3x + 2x\sqrt x + C\)
Pembahasan

\(\begin{array}{l}\int {\frac{{3\left( {1 - x} \right)}}{{1 + \sqrt x }}dx = \int {\frac{{3\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}}} } \,dx\\ = \int {3\left( {1 - \sqrt x } \right)dx = \int {3 - 3{x^{{y_2}}}dx} } \\ = 3x - \frac{3}{{1\frac{1}{2}}}{x^{1 + \frac{1}{2}}} + c\\ = 3x - \frac{3}{{3/2}}{x^{3/2}} + c\\ = 3x - 2x.{x^{{y_2}}} + c\\ = 3x - 2x\sqrt x + c\end{array}\)
Jadi hasil integralnya adalah \(3x - 2x\sqrt x + c\)
💥Kunci Jawaban : A

💦Soal No.59

Jika kurva \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) memotong sumbu-y di titik (0,1) dan \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{x - 1}} = - 4\), maka \(\frac{{b + c}}{a} = \) ...

(A) -1
(B) \( - \frac{1}{2}\)
(C) 0
(D) 1
(E) \(\frac{3}{2}\)

Pembahasan
Substitusi (0,1) ke \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)
\(1 = a\left( {{0^2}} \right) + b\left( 0 \right) + e \to c = 1\)
maka \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + 1\)
Bentuk \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{x - 1}}\), penyebutnya bernilai 0 saat x = 1 berarti
\(\begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\a{\left( 1 \right)^2} + b\left( 1 \right) + 1 = 0\\a + b = - 1\,...\,\,i)\end{array}\)
Kita selesaikan limitnya dengan dalil Hospotal
\(\begin{array}{c}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a{x^2} + bx + 1}}{{x - 1}} = - 4\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2ax + b}}{1} = - 4\\2a + b = - 4\,\,\,...\,\,\,\,\,\,\,ii)\end{array}\)
di eliminasi i) dan ii)
\(\begin{array}{l}2a + n = - 4\\{\underline {\,\,\,a + b = - 1} _ - }\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a = - 3\end{array}\)
pada persamaan i)
\(\begin{array}{c}a + b = - 1\\b = - 1 + 3 = 2\end{array}\)
Jadi nilai \(\frac{{b + c}}{a} = \frac{{2 + 1}}{{ - 3}} = - 1\)
💥Kunci Jawaban : A

💦Soal No.60

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah ...

(A) 720
(B) 705
(C) 675
(D) 48
(E) 15

Pembahasan

Ada 3 pasang pemain bulu tangkis ganda artinya 6 orang pemain. Banyak susunan berjajar = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 cara

Jika dengan syarat setiap pemain dari pasangannnya boleh berdekatan maka perhitungannya diperoleh dengan cara :

Setiap pasangan dianggap 1 kesatuan (1 kelompok) jadi ada 3 kelompok. Banyak cara mereka berfoto adalah 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cara

Pada setiap kelompok bisa kita tukar posisinya. Karena ada 3 posisi masing-masing ditukar jenisnya ada 2 maka seluruhnya 2 x 2 x 2 = 8

Total susunannya = 6 x 8 = 48

Banyak susunan dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan total caranya ada sebanyak = 720 - 48 = 672

💥Kunci Jawaban : C